Asal ideallerin bazı genelleştirmeleri - Avcı, Elif (Gebze Teknik Üniversitesi, Lisansüstü Eğitim Enstitüsü, 2025)
Asal idealler, değişmeli halka teorisinde çok önemli bir yer kaplar. Asal ideal kavramı ile değişmeli bir halkanın kapsamlı bir incelemesi ve sınıflandırılması yapılabilmektedir [McCoy, 1948]. Bu ideal yapısı değişmeli olmayan halkalar için de çalışılmış ve gerekli incelemeler yapılmıştır [McCoy, 1949]. Asal ideal tanımını vererek ilerleyelim: P, birimli ve değişmeli R halkasının bir has ideali olsun. x,y?R olmak üzere xy?P iken x?P veya y?P sağlanıyorsa P idealine asal ideal denir. Literatürde, asal ideal kavramının çeşitli genelleştirmeleri bulunmaktadır. Bu çalışmadaki başlıca amacımız aşağıda belirteceğimiz çeşitli asal ideal genellemelerini tanıtmak, değişmeli halka teoriye katkılarını açıklamak ve bu yeni yapılar arasındaki ilişkiyi vermektir. Ayrıca bu çalışma var olan asal ideal genelleştirmelerini bir başlıkta toplayarak literatüre kapsamlı bir derleme sunacaktır. İlk olarak 2-yutan ideal kavramı ve özellikleri incelenecektir. Bu kavram şöyle tanımlanmıştır: I, birimli ve değişmeli R halkasının bir has ideali olmak üzere herhangi x,y,z?R için xyz?I iken xy?I veya yz?I veya xz?I sağlanıyorsa I idealine 2-yutan ideal denir [Badawi, 2007], [Payrovi ve Babaei, 2013]. Örnek olarak, R=Z[X,Y,Z] halkasını ve I=XR?YR idealini düşünelim. I ideali 2-yutan idealdir fakat XY?I iken X?I ve Y?I sağlanmamaktadır, yani I asal ideal değildir. Bu genelleştirme herhangi bir n pozitif tam sayısı için genişletilebilir: x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1)?R için x_1 x_2?x_(n+1)?I iken x_i lerin n tanesinin çarpımı I nın elemanı ise I' ya n-yutan ideal denir [Anderson ve Badawi, 2011], [Badawi, 2017], [Becker, 2015]. Bu tanım aracılığıyla, n=1 ise 1-yutan ideal ile asal ideal kavramlarının çakışık olduğu görülür. Ayrıca yine bahsedilen tanımlar yardımı ile şu çıkarımı kolayca yapabilir: I, bir n-yutan ideal ise m?n pozitif tam sayısı için I ideali m-yutandır. Fakat ifadenin tersi doğru olmayabilir. Örnek olarak yukarıdaki örnek ele alınabilir. Asal ideal kavramını genelleştirmenin farklı bir yolu ise xy nin bulunduğu yeri kısıtlamaktır. Örneğin, x,y?R olmak üzere xy?I-{0} iken x?I veya y?I sağlanıyor ise I ya zayıf asal ideal denir [Anderson ve Smith, 2003], [Anderson ve Bataineh, 2008]. Yukarıdaki ifadeler bu kavram kullanılarak zayıf 2-yutan ve zayıf n-yutan ideal genelleştirmeleri elde edilir [Ebrahimpour ve Nekooei, 2012], [Ebrahimpour, 2014].

Prime ideals has a very significant place in commutative ring theory. Through the concept of prime ideals, a comprehensive study and classification of a commutative ring can be achieved [McCoy, 1948]. The prime ideal structure has also been studied in noncommutative rings, and has been investigated extensively [McCoy, 1949]. We begin by formally defining the concept of a prime ideal: Let P be a proper ideal of a commutative ring R with identity. P is called a prime ideal if xy?P for some x,y?R implies x?P or y?P. The literature includes various generalizations of the concept of prime ideals. The main aim of this study is to introduce various generalizations of prime ideals, explain their contributions to commutative ring theory, and present the relationships between these new structures. Additionally, this study aims to provide a comprehensive review in the literature by consolidating the existing generalizations of prime ideals under a single framework. We begin by examining the concept and properties of a 2-absorbing ideal, which is defined as follows: Let I be a proper ideal of a commutative ring R with identity. I is called a 2-absorbing ideal if xyz?I for any x,y,z?R implies xy?I or yz?I or xz?I [Badawi, 2007], [Payrovi and Babaei, 2013]. As an example, consider the ring R=Z[X,Y,Z] and the ideal I=XR?YR. The ideal I is 2-absorbing but not a prime ideal since XY?I iken X?I ve Y?I. This generalization can be extended for any positive integer n: Let x_1,x_2,…,x_n,x_(n+1)?R. If x_1 x_2?x_(n+1)?I implies that the product of any n of these elements x_i's belongs to I, then I is called an n-absorbing ideal [Anderson and Badawi, 2011], [Badawi, 2017], [Becker, 2015]. Based on this definition, it can be observed that when n=1, the concepts of a 1-absorbing ideal and a prime ideal coincide. Additionally, the following result can be derived from the above definitions: If I is an n-absorbing ideal, then I is also m-absorbing for any positive integers m?n. However, the converse is not necessarily true. The earlier example may be revisited to illustrate this point. Another method for generalizing the concept of prime ideals is to impose restrictions on the placement of the product xy. For instance, if I is a proper ideal of R, and 0?xy?I for some x,y?R implies x?I or y?I, then I is called as a weakly prime ideal [Anderson and Smith, 2003], [Anderson and Bataineh, 2008]. Using the above concepts, weakly 2-absorbing and weakly n-absorbing ideal generalizations can also be obtained [Ebrahimpour and Nekooei, 2012], [Ebrahimpour, 2014].
Some generalizations of prime ideals
Keywords: Matematik; Mathematics