On character degrees of finite groups and some associated graphs

Abstract

Grup yapıları ile ilişkili çizgeler aktif olarak araştırılmış ve pek çok ilginç sonuç elde edilmiştir. G sonlu bir grup ve lrr(G), G'nin indirgenemez karakterlerinin kümesi olsun. cd(G)={?(1): ??Irr(G)} kümesi, G'nin karakter derecesi olarak adlandırılır. Biz, asal köşe çizgesi, ortak bölen derecesi çizgesi ve iki-parçalı bölen çizgesi şeklindeki üç yönsüz çizgeyi cd(G) ile ilişkilendiririz. Bu çizgeler güçlü bir şekilde ilişkilidir ve birçok birleştirici özelliği paylaşır. Bu tezde, bir sonlu grup olan G'nin yapısı ve onun karakter derece kümesi ile ilişkili çizgeler arasındaki etkileşimi tartışacağız. Özellikle, asal köşe çizgesi dört uzunluklu bir döngü ya da üç uzunluklu bir patika olan çözülemez herhangi bir G grubun var olmadığını iddia ediyoruz. Ayrıca, G çözülemez olduğu zaman, ortak bölen derece çizgesi ?(G) olarak ortaya çıkabilen dört köşe ile tüm çizgelerin bir sınıflandırmasını veririz. Dahası, üçgen içermeyen asal köşe çizgelerin sonlu gruplarını ele alıp ve beş köşeli ve sonlu bir G grubu için asal köşe çizgesi olarak ortaya çıkan üçgen içermeyen sonlu çizgelerin bir sınıflandırmasını elde ediyoruz. Bu tez yazısında [9]'u takip ediyoruz ve B(G) bir patika, patikaların birleşimi ya da bir döngü olduğu zaman, G'nin bazı kuramsal grup özeliklerini çalışmaya odaklanıyoruz.Graphs associated with group structures have been actively investigated and many fascinating results have been obtained. Let G be a finite group and Irr(G) be the set of irreducible characters of G. The set cd(G)={?(1): ??Irr(G)} is called the character degree of G. We associate with cd(G) three undirected graphs which are the prime vertex graph ?(G), the common divisor degree graph ?(G) and the bipartite divisor graph B(G). These graphs are strongly related and share many combinatorial properties. In this thesis, we discuss the strong interplay between the structure of a finite group G and the graphs associated with its character degree set. In particular, we claim that there does not exist any nonsolvable group G whose prime vertex graph is a path of length three or a cycle of length four. Furthermore, we give a classification of all graphs with four vertices that can arise as the common divisor degree graph ?(G) when G is nonsolvable. Moreover, we consider finite groups whose prime vertex graphs have no triangles and obtain a classification of finite graphs with five vertices and no triangles that can occur as the prime graph for a finite group G. We follow in this thesis paper [9] and we focus on studying some group theoretical properties of G when B(G) is a path, a union of paths or a cycle.