Structural matrix algebra and its automorphisms

Abstract

Bu tezde özellikle iki konu üzerinde araştırma yaptık.İlk olarak Yapısal Matris Cebirleri ile Boolean Cebirleri arasındaki ilişkileri inceledik. Yapısal Matris Cebirlerinin altuzay örgüsünün Boolean cebir'i olması için bir çok denk koşullar verdik. Yapısal Matris Cebirlerinin altuzay örgüsü L nin tabanı için tamamlayıcı özelliğini ve bunun için gerekli koşulu tanımladık. Bu koşul: Eğer L Boolean cebir'i ise L nin herhangi bir B tabanı tamamlayıcı özelliği sağlar. Tersine olarak eğer L nin bazı B tabanı tamamlayıcı özelliği sağlıyor ise L Boolean cebir'idir.İkinci konu olarak Yapısal Matris Cebirlerinin otomorfizmaları üzerinde çalıştık ve [5] teki açık soruyu cevaplamayı istedik. A, cisim üzerinde matris cebiri olsun. Jordan-Holder teoremini veya Laffey'in [16] sonucunu kullanarak (eğer A köşegen elemanları ayrık matris içeriyor ise) bir taban seçebiliriz, bundan dolayı A blok üçgen formdadır. Blok duruma genelleştirmek için [5] teki Teorem 2 yi nasıl genişletebiliriz ve bunu köşegen blokların otomorfizma grupları hakkında elde ettiğimiz bilgilerle bir araya getirerek, hangi bloklar tam matris cebirlerine izomorftur ve Aut(A) yapısını nasıl elde ederiz?Ayrıca Coelho [8] nun temel sonuçları olan teorem A ve teorem B yi yapısal matris cebirinin blok üçgen formundaki durumunda tekrar ispatladık.In this thesis we have researched essentially two topics.As a first topic we studied the relations between structural matrix algebras and Boolean algebra. We give several equivalent conditions for a subspace lattice of a structural matrix algebra to be a Boolean algebra. We define the complementation property for a basis of L, a subspace lattice of a structural matrix algebra, and give a necessary condition: If L is a Boolean algebra, then any basis B of L satisfies the complementation property. Conversely, if some basis B of L satisfies the complementation property, then L is a Boolean algebra.As a second topic we worked on in general heading automorphisms of structural matrix algebras and wished to give an answer to an open question given in [5]. Let A be an algebra of matrices over a field. Using Jordan-Holder theorem or (if A contains a matrix with distinct diagonal entries) using the results of Laffey [16], we may choose a basis so that A is in block triangular form. To what extent can Theorem 2 of [5] be generalized to the block case and combined with knowledge of the automorphism groups of the diagonal blocks, which blocks are isomorphic to full matrix algebras, to obtain structure of Aut(A)?We also reproved of Theorem A and Theorem B in [8], a version of the principle results, by using the structure of the algebra in the block triangular case.