Stability of bimodal systems in R3

Abstract

Bu tezde R2, ve R3'te, iki modlu sistemlerin yapısı ve kararlılık problemi araştırılmıştır. Kullanılan yaklaşım alt sistem özvektörlerinin oluşturduğu yapıyı kullanmaktadır. Bu yapıda vektör alanı anahtarlama düzleminde süreksiz olabilmektedir. Ayrıca iki modlu sistemlerin çözümleri aşağıdaki şekilde sınıflandırılmıştır. İlk olarak modların birinden başlayan çözümler, sonlu bir zaman aralığında mod değiştiren çözümler ve hiç mod değiştirmeyen çözümler olarak sınıflandırılmıştır. Sonra, bu sınıflandırma ikinci bir sınıflandırma için aşağıda anlatıldığı gibi kullanılmıştır: i) t?? iken sonlu kere mod değiştiren çözümler, ii) t?? iken sonsuz kere mod değiştiren çözümler. i)'deki çözümlerin azalarak sıfıra gitmesi için gerekli ve yeterli koşul her iki moda ait reel özdeğerlerin negatif (kararlı) olmasıdır. Sonra ii)'deki çözümlerin sabit doğrultu olarak isimlendirilen başlangıç noktalarından başlayan çözümlere yakınsadığı ispat edilmiştir. Ayrıca, ii) deki çözümlerin azalarak orijine gitmesi için gerekli ve yeterli koşulun sabit doğrultudan başlayan çözümlerin azalarak orijine gitmesi olduğu gösterilmiştir.In this dissertation, structure and stability of a class of bimodal systems in R3 and in R2 are investigated. The approach taken employs the structure induced by the eigenvectors of subsystem matrices. In this framework, vector field is allowed to be discontinuous on the switching plane. Furthermore, the trajectories of bimodal system are classified as follows. First, the trajectories starting in one of the modes are classified as trajectories which change mode within a finite time interval, and trajectories which never change mode. Then, this classification is further used for a second classification i) trajectories which change mode only finite number of times as t??. ii) trajectories which change mode infinite number of times as t??. It is shown that the trajectories in class i) decay to the origin if and only if all the real eigenvalues of both modes are negative (stable). Then, it is proven that the trajectories in class ii) converge to a certain subset of trajectories which are called trajectories starting from fixed directions. Furthermore, the trajectories in class ii) decay to the origin if and only if the trajectories starting from fixed directions decay to the origin.