Jet schemes and resolutions of surface singularities

Abstract

Bu tez, $\mathbb{C}^4$ içinde gömülü $S$ cebirsel yüzeylerinin rasyonel üçlü nokta tekilliklerinin minimal gömülü torik çözümlemesini araştırmaktadır. Özellikle, normalizasyonu $\mathbb C^4$'deki bir $S$ yüzeyinin rasyonel üçlü nokta tekilliği olan, izole olmayan tekilliklere sahip $\mathbb{C}^3$'teki bir $X$ hiperyüzeyine odaklanıyoruz. $X := V(f)$ ve $f\in \mathbb{C}[x,y,z]$ olsun. $1963$ yılında, $X$'in yay uzayını $J_{\infty}(X) := \{\gamma : Spec\mathbb{C}[[t]] \to X\}$ tanıtarak, J. Nash $X$'in tekil yerinde merkezlenmiş yay uzayının indirgenemez bileşenlerinin sayısının, $X$'in tekilliklerinin bir çözümlemesindeki istisnai bölgenin esas indirgenemez bileşenlerinin sayısına eşit olup olmadığını sordu. Bu soru Nash Problemi olarak adlandırılmaktadır. $X$'in tekilliklerinin bir çözümlemesinde istisnai bölgenin indirgenemez bir bileşeni, başka herhangi bir çözümlemede de istisnai bölgenin indirgenemez bir bileşeni olursa, bu bileşen esas olarak adlandırılır. Nash, tekillik noktasından geçen yaylar uzayının indirgenemez bileşenleri ile bir çözümlemenin esas bileşenleri arasında bir dönüşüm tanımladı. Bu dönüşüm, tekillik bölgesinden geçen yaylar uzayındaki her $C$ bileşenine, çözümlemedeki genel bir yay yükselmesinin kesiştiği isnisnai bölgenin esas bileşenini atar. Nash, bu dönüşümün bire bir olduğunu kanıtladı ve haritanın örten olup olmadığını sorguladı. Rasyonel çift nokta tekillikleri için Nash problemi, $A$, $D$, $E$ durumlarında farklı makalelerde ayrı ayrı çözülmüştür. Nash problemi, J. Fernández de Bobadilla ve M. Pe Pereira tarafından iki boyutta olumlu bir şekilde çözülmüş olmasına rağmen, bazı istisnalar dışında daha yüksek boyutlar için hâlâ açık bir sorudur: S. Ishii ve J. Kollár, Nash dönüşümünün bijektif olmadığına dair 4 boyutlu bir örnek sunarken, tüm torik tekillikler için her boyutta bijektiviteyi kanıtladılar; De Fernex ise $3$ boyutta bir karşı örnek verdi. Bu tez, rasyonel üçlü nokta tekilliğinin gömülü bir torik çözümlemesini oluşturmayı ve Nash problemini çözmeyi amaçlamaktadır. 2013 yılında, H. Mourtada, M. Lejeune-Jalabert ve A. Reguera, Ters Nash Problemi'ni ortaya atarak "$X$'in $\mathbb{C}^n$ 'deki jet uzayları verildiğinde, tekilliklerin bir çözümlemesini inşa edebilir miyiz?" sorusunu sordular. Buna dayanarak, şu temel soruya cevap vermeyi hedefliyoruz: "$J_m(X)$'in bazı indirgenemez bileşenlerini kullanarak $\mathbb{C}^3$'te bir hiperyüzeyin minimal gömülü torik çözümlemesini inşa edebilir miyiz?" Bunun için, M. Lejeune-Jalabert, H. Mourtada, C. Plenat ve A. Reguera'nın yaklaşımını takip ediyor ve $X$'in $J_{m}(X):=\{\gamma_{m}:Spec\frac{\mathbb{C}[[t]]}{\langle t^{m+1}\rangle} \to X\}$ jet şemalarının ayrışımını kullanıyoruz. Hatırlatmak gerekirse, $J_{\infty}(X)$ yaylar uzayı, $J_m(X)$'in bir limitidir. Burada, önceki çalışmalardan farklı olarak normal olmayan hiperyüzeyleri ele alıyor ve Nash dönüşümünün bijektif olduğu $X$'in minimal gömülü torik çözümlemesini inşa etmek için sistematik bir yöntem sunuyoruz.This thesis investigates a minimal embedded toric resolution of rational triple point singularities of algebraic surfaces $S$ embedded in $\mathbb C^4$. In particular, we focus on a hypersurface $X$ in $\mathbb{C}^3$ with non-isolated singularities whose normalization is a rational triple point singularity of a surface $S$ in $\mathbb C^4$. Let $X:=V(f)$ with $f \in \mathbb{C}[x, y, z]$. In 1$963$, by introducing the arc space $J_{\infty}(X):=\{\gamma:Spec \mathbb{C}[[t]]\to X\}$ of $X$, J. Nash asked whether the number of irreducible components of the arc space centered at the singular locus of $X$ equals the number of essential irreducible components of the exceptional divisor in a resolution of singularities of $X$. This problem will be referred to as the Nash Problem. An irreducible component of the exceptional divisor of a resolution of singularities of $X$ is called essential if, in any other resolution, that component is an irreducible component of the exceptional divisor. Nash defined a map between the set of irreducible components of the space of arcs passing through the singular locus to the set of essential components of a resolution. The map assigns to each component $C$ of the space of arcs through the singular locus the unique component of the exceptional divisor which meets the lifting of a generic arc of $C$ to the resolution. Nash proved that this map is injective and posed the question whether the mapping is surjective. The Nash problem for rational double point singularities has been solved in $A,D, E$ cases separately in different articles. While the Nash problem has been solved affirmatively in dimension two by J. Fernández de Bobadilla and M.Pe Pereira, it remains an open question in higher dimensions except for some cases: S. Ishii and J. Kollár provided an example in dimension $4$ where the Nash map is not bijective while they proved the bijectivity for all toric singularities in any dimension; De Fernex also gave a counterexample in dimension $3$. This thesis focuses on building an embedded toric resolution of a rational triple singularity and prove the Nash Problem. In 2013, H. Mourtada, M. Lejeune-Jalabert and A. Reguera introduced the Inverse Nash Problem asking 'Given the jet scheme of $X$ in $\mathbb{C}^n$ can we construct a resolution of the singularities?'. Based on this, our goal is to answer the key question "Can we construct a minimal embedded toric resolution of a hypersurface in $\mathbb{C}^3$ using some irreducible components of $J_m(X)$?" For this, we follow the approach of M. Lejeune-Jalabert, H. Mourtada, C. Plenat and A. Reguera and, use the decomposition of the jet schemes $J_{m}(X):=\{\gamma_{m}:Spec\frac{\mathbb{C}[[t]]}{\langle t^{m+1} \rangle} \to X\}$ of $X$. Recall that the space $J_{\infty}(X)$ of arcs is a limit of $J_m(X)$. Here, unlike previous works, we consider non-normal hypersurfaces and provide a systematic method to construct a minimal embedded toric resolution of $X$ for which the Nash map is bijective.