Machine learning and symbolic computation

Abstract

Bu tez, derin üretici modellerin —özellikle Generative Adversarial Network (GAN) ve Variational Autoencoder (VAE) mimarilerinin— yalnızca reel köklere sahip tek değiş-kenli polinomları sembolik düzeyde üretme kapasitesini araştırmaktadır. Reel köklü polinomlar, nümerik stabilite, kontrol sistemleri ve yaklaşım kuramı gibi birçok teorik ve uygulamalı alanda temel öneme sahiptir. Ancak bu tür polinomların, hem sembolik olarak hem de açık cebirsel kısıtlarla (örneğin tüm köklerin $mathbb{R}$ üzerinde olması) üretimi, mevcut makine öğrenmesi modelleri açısından büyük ölçüde çözülmemiş bir problemdir. Bu çalışmada, reel köklülüğün katsayı uzayında dolaylı olarak öğrenilebileceği varsayı-mına dayanarak, GAN ve VAE gibi üretici modellerin bu özelliği veri üzerinden istatistiksel olarak öğrenebileceği hipotezi öne sürülmektedir. Hipotezi test etmek amacıyla, rasyonel ve irrasyonel kök yapılarına sahip polinomlardan oluşan, hem monomial hem de Bernstein bazlarında tanımlanmış özgün ve sembolik olarak yapılandırılmış veri kümeleri oluşturulmuştur. Bu veri kümeleri, her biri reel kök koşulunu sağlayan 56 farklı cebirsel yapı içermektedir. Çalışma kapsamında, GAN modeli adversarial öğrenme aracılığıyla doğrudan reel köklü örnekler üretmek üzere eğitilmiş; VAE modeli ise latent uzaydaki yapıyı analiz etmek ve kök özelliklerine göre ayrışma (disentanglement) davranışını gözlemlemek amacıyla kullanılmıştır. Farklı derece, baz ve sembolik karmaşıklıklara göre yapılan karşılaştırmalı analizler, reel köklülüğün hangi yapısal koşullarda daha iyi öğrenilebildiğine dair niteliksel ve niceliksel bulgular sunmaktadır. Sonuçlar, uygun biçimde yapılandırılmış veri kümeleri ve model mimarileri ile GAN ve VAE gibi üretici modellerin reel köklü polinom üretimini yüksek doğrulukla gerçekleştirebildiğini göstermektedir. Bu tez, cebirsel olarak kısıtlanmış sembolik nesne üretimi alanına katkı sağlamakta ve derin öğrenme ile cebirsel yapılar arasında daha güçlü entegrasyonlara olanak tanımaktadır.This thesis investigates the capability of deep generative models—particularly Generative Adversarial Networks (GANs) and Variational Autoencoders (VAEs)—to symbolically generate univariate polynomials with only real roots. Real-rooted polynomials are central in fields such as numerical stability, control systems, and approximation theory. However, generating such objects with explicit algebraic constraints remains an open challenge in the context of machine learning. Based on the assumption that real-rootedness can be indirectly learned from coefficient space distributions, this work hypothesizes that generative models like GANs and VAEs can capture this structure using structured datasets. To test this, symbolic datasets were constructed in both monomial and Bernstein bases, containing rational and irrational root structures across 56 algebraic classes. A GAN was trained to directly generate valid instances through adversarial learning, while a VAE was used to analyze latent structure and disentanglement in root-related features. The study evaluates performance across different degrees, bases, and symbolic complexities, revealing patterns that affect the learnability of real-rootedness. The findings suggest that, with appropriately designed datasets and model architectures, generative models can indeed learn to produce real-rooted polynomials with high accuracy. This thesis contributes to the field of algebraically constrained symbolic generation and opens new avenues for integrating deep learning with algebraic reasoning.