On cycles and bipartite divisor graph releated to the set of conjugacy class sizes

Abstract

Çeşitli cebirsel yapılarla ilişkili grafikler incelenmiş ve birçok enteresan sonuçlar elde edilmiştir. X pozitif tamsayıların bir alt kümesi olsun. Biz üç yönsüz grafik olan asal köşe grafiği, ortak bölen grafiği ve ikili bölen grafiğini X kümesi ile ilişkilendirdik. G sonlu bir grup olsun. X=cs(G) olsun. İlişkili grafiklerin kombinatoryal özelliklerini kullanarak, grubun yapısı hakkında bazı bilgiler verdik. Doğal olarak bu alanda ortaya çıkan başlıca sorulardan biri olan ikili bölen grafikleri özel grafik şekiller olan gruplarını sınıflandırılmasıdır. Bu tezde, sonlu grup ikili böleni grafiği bir döngü olan durum incelendi. Amacımız bu özelliği ile bu grupları sınıflandırmaktır. Bunun için biz Bijan Taeri tarfından yazılan bir makaleyi takip edeceğiz [Taeri, 2010].

Graphs associated with various algebraic structures have been actively investigated and many interesting results have been obtained. Let X be a set of positive integers. We associate three undirected graphs, which are called the prime vertex graph, the common divisor graph and the bipartite divisor graph, to the set X. Let G be a finite group and cs(G) the set of the conjugacy class sizes of elements in G. Assume that X=cs(G). By using combinatorial properties of the associated graphs, we give some information about the structure of the group. One of the main questions that naturally arises in this area is classifying the groups whose bipartite divisor graphs have special graphical shapes. In this thesis, we consider the case where the bipartite divisor graph of a finite group is a cycle. Bijan Taeri classified those groups with this property [Taeri, 2010]. In this thesis, we will write his proof in detail.