Theoretical and numerical investigation of inverse problems of finding the lowest term in 1D and 2D heat equations

Abstract

Bu tezde, Wentzell-Neumann sınır koşulna sahip 1 boyutlu ısı denkleminde ve yerel olmayan Ionkin-tipli sınır koşuluna sahip 2 boyutlu ısı denkleminde zamana-bağlı en küçük katsayıyı bulma ters problemleri ele alınmıştır. Bu ters problemlerin, sınır ve ek integraller koşulları altında Fourier seri analizleri verilmiştir. Bu problemlerin çözümlerinin varlığı - tekliği ve kararlı çözümleri, ikinci tip Volterra integral denklemleri kullanılarak ve başlangıç koşulu, kaynak terimin bilinen kısmı ve Fourier katsayıları üzerine bazı düzenlilik, uyumluluk ve diklik koşulları eklenerek genelleştirilmiş Fourier metoduyla elde edilmiştir. Ters problemlerin sayısal çözümleri, düzgün bölmelenmiş bölge üzerinde, 1 boyutta bileşik yamuk kuralı ve 2 boyutta bileşik Simpson çarpım kuralıyla düzgün sonlu farklar metodu kullanılarak; ve düzgün bölmelenmemiş bölge üzerinde, 1 boyutta Gauss-Lobatto kuadratür formülü ve 2 boyutta Gauss-Lobatto kübatür formülü ile düzgün olmayan sonlu farklar metodu kullanılarak gösterilmiştir. Sayısal yöntemlerin uygulamalarını karşılaştırmak için bazı örnekler verilmiştir.In this thesis, we consider the inverse problems of finding time-dependent coefficient of the lowest term in 1D heat equation with Wentzell-Neumann boundary condition and 2D heat equation with Ionkin-type non-local boundary condition. The Fourier series analysis of these inverse problems in the heat equations with boundary and integral over-determination conditions is presented. The existence and uniqueness of the classical solutions are shown by using the generalized Fourier method combined with the unique solvability of the second kind Volterra integral equation under some regularity, consistency and orthogonality conditions on the data and additional conditions on the sign of the Fourier coefficients of the initial data nd the known part of source term. The numerical solutions of the inverse problems are introduced by using uniform finite difference method combined with the composite trapezoidal rule in 1D problem and the composite product Simpson's rule in 2D problem on a uniform grid; and on a non-uniform grid, using non-uniform finite difference method combined with Gauss-Lobatto quadrature in 1D problem and product Gauss-Lobatto cubature in 2D problem. Numerical examples illustrate how to implement the methods.