Modüller için tabanlar

Abstract

Bir R-halkası üzerinde tanımlı modül ile bir cisim üzerinde tanımlı (sonlu boyutlu) bir vektör uzayı arasındaki en belirgin farklılık, vektör uzaylarının aksine, serbest modüller haric., bir tabana her zaman sahip olamayışlarıdır. Bir kesir halkası (division ring) üzerinde tanımlı bir sol vektör uzayının her üreteç kümesinin bir en küçük üreteç kümesi (ya da taban) ne sahip olduğu halka kuramında iyi bilinen bir özelliktir. Bu özellik, halkaları daha iyi karakterize edebilmek için, şu iki problemi ortaya çıkarmıştır:(1) Ne zaman her sol R-modül bir üreteç kümesine sahiptir? Chwe ve Neggers birSteinitz halka üzerindeki her sol R-modülün bir en küçük üreteç kümesi kapsadığım is-patlamışlardır. Yazarlar yine bu çalışmalarmda şu önemli varsayımda bulunmuşlardır;R nin bir sol tam halka olması ic.in gerek ve yeter koşul her sol -R-modülün bir en küçükminimal üreteç kümesi kapsamasıdır. Ilk önce B. Nashier- W. Nichols ve dahasonra da D.D. Anderson - J. Robeson ispatlamışlardır ki bir sol R-tam halkasıüzerindeki her sol R-modül bir en küçük üreteç kümesine sahiptir, ve tersinin doğruolmadığma dair bir aksi örnek vermişlerdir. Dolayısıyla bu varsayım hala tam olarakispatsızdır.(2)Herhangi bir sol -R-modülün bir üreteç kümesi ne zaman bir en küçük üreteç kümesikapsar? B. Nashier- W. Nichols şu iki önemli teoremi ispatlamışlardır; R nin birsol tam halka olması için gerek ve yeterli koşul her yarı-devirli bir sol -R-modülün devirlimodül olmasıdır, ve herhangi bir sol i?-modülün her üreteç kümesi bir en küçük üreteçkümesi kapsar ise R bir sol tam halka olmalıdır. Bu sonuçlardan, hala bir çözümüverilememiş olan, şu açık problemi yine aynı çalışmalarında sunmuşlardır: Herhangibir sol R-modülün bir üreteç kümesi bir en küçük üreteç kümesi kapsar ise sol tamhalkalar tam olarak bu özelliğe sahip halkalardır.Bu iki önemli problemin çözümüne yönelik olarak, yarı-basit Artinian halkalar üzerinde yoğunlaşılarak, bu çalışmada bir alt yapı oluşturmak amacı ile bu tez hazırlanmıştır.An important difference between modules over a ring and vector space over a field that vector spaces always have a basis but the modules need not have a basis, in gen-eral, of course except free modules. It is well-known that every generating set of a left vector space over a division ring contains a minimal generating set (or basis). This motivated various interests in characterizing the rings R, and brings up the following questions:(1) When does every left R-module have a minimal generating set?Chwe ve Neggers proved that every left R-module over a Steinitz ring contains a minimal generating set. It was also conjectured that a ring R is left perfect iff every left R-module contains a minimal generating set. It is known from B. Nashier- W. Nichols ([9]) and D.D. Anderson - J. Robeson that every left R-module over a left perfect ring has a minimal generating set, but the converse does not hold true by a counter example in. So the conjecture was disproved yet.(2) When does every generating set of each module contain a minimal generating set?B. Nashier- W. Nichols proved that a ring R is left perfect iff every quasi-cyclicleft R-module is cyclic, and observed that the ring R must be left perfect if every generating set of each left R-module contains a minimal generating set. Therefore, they raised the question whether the left perfect rings are precisely those rings R such that every generating set of each left R-module contains a minimal generating set.We have noticed that if every generating set each left R-module over a semisimple arinian ring R contains a minimal generating set, then the question has a positive answer. So our approach is to identify the semisimple artinian rings R for which every generating set of each left R-module contains a minimal generating set.