Diferensiyel denklemler için ters problemlere dönüşüm operatörlerinin bazı uygulamaları

Abstract

Tezin başlıca amacı bu ters problemlerin Sturm-Liouville denklemi için dönüşüm operatörü (belli bir sınır koşullarını sağlayan pertürb edilmemiş diferansiyel denklemin çözümünü pertürb edilmiş denklemin çözümüne dönüştüren operatör) ile literatürde mevcut olan bağlılığını ortaya çıkarmak ve ileride benzer bağlılığı birinci mertebeden hiperbolik sistem için ters problemlerin çözümüne uygulamaktır.Tezde ilk olarak dönüşüm operatörü yöntemiyle Sturm-Liouville operatörü spektral fonksiyonuna göre sonlu aralıkta tek şekilde belirlenmiş, daha sonra bu sonuç kullanılarak çözümünün x=0 üzerindeki izi bilinerekten [0,1] aralığında bir boyutlu dalga denklemi için başlangıç sınır değer probleminden denklemin katsayısının tek şekilde belirlenmesi gösterilmiştir. Son olarak çözümünün x=0 ve x=1 üzerindeki izleri bilinerekten [0,1] aralığında aynı denklemin katsayısı ile beraber başlangıç verileri ve sınır koşullarındaki sabitler de belirlenmiştir.

This thesis introduces the dependence of the inverse problems with a transformation operator (which transforms the solution of nonperturbed differential equation to the solution of perturbed differential equation ) for the Sturm-Liouville equation. This relationship is studied for the future motivation as a solution of the inverse problems for the first order hyperbolic system.In this thesis, firstly, the Sturm-Liouville operator is determined from its spectral function in a finite interval by using transformation operator method. Then, this result is applied to determining the coefficient of the one dimensional wave equation uniquely in the interval [0,1] from the trace of the solution of initial boundary value problem for that equation at x=0. Finally, the coefficient of the same equation, together with the initial data and the parametres in the bounday conditions are determined uniquely in the interval [0,1] from the traces of its solution at x=0 and x=1.