On the endomorphism rings of some module classes

Abstract

Modüllerin endomorfizma halkaları ve modüllerle endomorfizma halkaları arasındaki ili¸ski uzun zamandır literatürde ilgi çeken bir konu. Son yıllarda, bir çok değişik modül sınıfının (eş-düzgün tanımlı modüller [Facchini and Girardi, 2010], yerel halka üzerindeki yinelemeli tanımlı modüller [Amini and Facchini, 2008], sıfırdan farklı indirgenemeyen injektif modüller arasındaki morfizmaların çekirdeği [Facchini et al., 2010], socle'ı iki belirli basit modülün dik toplamına izomorf olan artin modüller [Facchini and Prihoda, 2010], vb.) endomorfizma halkalarının en fazla iki maksimal ideale sahip olmaları ve Krull-Schmidt Teoreminin zayıf formunun geçerli olması durumlarında benzer davranışlara sahip oldukları ke¸sfedildi. Biz bu tezin ilk kısmında, yakın zamanda yapılan ve önemli gördüğümüz gelişmelerden bahsettik. İkinci kısımda ise, konuyla alakalı temel tanımlar ve içerikleri verdik. Üçüncü bölüme, daha önceden yapılmış olan çalışmalardan elde edilen sonuçları ekledik. Tezin son bölümünde, yerel halka üzerindeki, projektif boyutu 1 ve birden küçük olan yinelemeli, sonlu tanımlı modüllerin endomorfizma halkalarının davranışını çalıştık. Bu modül sınıfı, yerel halka üzerinde eş-düzgün tanımlı modüller sınıfını keyfi halkaya genişletir.

The endomorphism rings of modules and connections between a module and its endomorphism ring have long been of interest. In recent years, it has been discovered that various classes of modules (such as, couniformly presented modules [Facchini and Girardi, 2010], cyclically presented modules over local rings [Amini and Facchini, 2008], kernels of non-zero morphisms between indecomposable injective modules [Facchini et al., 2010], artinian modules whose socle is isomorphic to the direct sum of two fixed simple modules [Facchini and Prihoda, 2010], and so on.) have similar behaviors as having at most two maximal ideals in the endomorphism ring and the validity of a weak form of the Krull-Schmidt Theorem. In the first chapter of the thesis, we summarize the recent developments and some important ones. In the second chapter, we give basic concepts and definitions related to this topic. We add the results of the previous studies to chapter three. In the last chapter of the thesis we study the behavior of endomorphism ring of a cyclic, finitely presented module of projective dimension less or equal to 1 over a local ring. This class of modules extends the class of couniformly presented modules over local rings to arbitrary rings.