Sınır noktası için genelleşmiş Schwarz Lemması

Abstract

İki bölümden oluşan bu tezde Schwarz Lemmasının sınırda bir genellemesi ele alınmış olup Caratheodory Eşitsizliği kuvvetlendirilmiştir. Özellikle 90'lı yıllardan itibaren Burns ve Krantz, Dov Chelst, Robert Osserman ve başkalarının çalışmalarında Schwarz Lemmasının sınırda genelleştirilmesi araştırılmıştır: Birim D dairede tanımlanmış f : D -> D fonksiyonu için, f(z) fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlasın. (a) \z\ < 1 için f(z) holomorf olsun. (b) |z| < 1 için \f{z)\ < 1 olsun. (c) /(0) = 0 olsun. (d) f(z) fonksiyonunun sınırdaki bir b ( \b\ = l ) noktasına sürekli devamı, \f(b)\ = 1 ve f'(b) mevcut olsun. Bu takdirde, \f'(b)\>^r dır. 1 ' l+/'(0) Tezde bu lemma ve sonuçları aşağıdaki şekilde genelleştirilmiştir: Lemmanın (c) koşulu yerine /(0) = /'(0) = /"(0) == /*-'(0) = 0, fk(0)*0 konması durumunda sınırdaki Schwarz Lemması'nın genelleştirilmesi yapılmıştır. Ayrıca Caratheodory Eşitsizliği kuvvetlendirilmiştir.

In this work, a generalization of Schwarz Lemma on the boundary is investigated and a stronger form of Caratheodory Inequality is obtained. Especially in 1 990s, in publications of Burns and Krantz, Dov Chelst, Robert Osserman and other's was studied the generalization of the Schwarz Lemma on the boundary, namely: Let the function / : D - » D in the unit disk D satisfy the following properties: (a) f{z) is analytic for |z| < 1, (b) |/0)| < 1 for \z\ < 1, (c) /(0) = 0, (d) for some b with |ö| = 1, f(z) extends continuously to b, \f(b)\ = 1, and f'(b) exists. Then L/W 2 l+/'(0) In this thesis, the problem posed above is generalized in following aspect: The property (c) of the lemma is generalized in the following manner, i.e., let f(z) have the property that /(0) = /'(0) = /"(0) == /*l(0) = 0 and fk(0) * 0. In this aspect the generalization of the Schwarz Lemma on the boundary is is investigated and a stronger form of Caratheodory Inequality is obtained.