Functorial constructions for graph algebras

Abstract

Gelfand-Naimark Teoremi, tıkız Hausdorff topolojik uzayları kategorisinin, değişmeli birimli C?-cebirlerinin karşıt kategorisine denk olduğunu ifade eder. Kuzey ve güney yarımkürelere karşılık gelen iki diski sınırları (ekvator) boyunca yapıştırarak küreyi elde etmek veya antipodal tanımlamayla bir kürenin bölümü olarak real projektif uzayı elde etmek gibi topolojik inşaların C?-cebirleri kategorisinde karşılıkları vardır. Gelfand-Naimark-Segal Teoremi, tüm C?-cebirlerini, bir H Hilbert uzayı üzerindeki sınırlı lineer dönüşümlerin kapalı ?-alt cebirleri olarak karakterize eder. Gelfand- Naimark Teoreminin aksine, Gelfand-Naimark-Segal Teoreminde H Hilbert uzayını veya kapalı ?-alt cebirini belirleyen teklik ifadesi yoktur. Değişmeli olmayan tüm C?- cebirleri için Gelfand-Naimark Teoreminin muhtemelen iyi bir karşılığı yoktur. Ancak C?-cebirlerinin önemli bir alt sınıfı olan çizge C?-cebirleri için bu mümkün olabilir. Çizge C?-cebirlerinin bazıları kuantum uzaylar, yani tıkız Hausdorff topolojik uzay- ların üzerinde tanımlı kompleks değerli sürekli fonksiyon C?-cebirlerinin (değişmeli olmayan) deformasyonları olarak verilmiştir. Stone-Weierstrass Teoremi, Öklid uzayının kapalı ve sınırlı alt kümeleri üzerindeki sürekli fonksiyon cebirlerinin sonlu üretilmiş yoğun alt cebirlerini sağlar. Bunlar genel- likle polinom cebirleri veya bölümleridir. Bu yapıların değişmeli olmayan (cebirsel) analoglarını, yani quantum uzayların yoğun, sonlu üretilmiş alt cebirlerini kofunktoryel olarak veriyoruz. LF kofunktoru her yönlü ? çizgesine ? nın katsayıları F cisminden gelen LF(?) Leavitt yol cebirini ve her yasal yönlü çizge morfizmasına bir dereceli ?-cebiri homomorfizması atar.The celebrated Gelfand-Naimark Theorem states that the category of compact Hausdorff topological spaces is equivalent to the opposite category of commutative unital C?- algebras. Topological constructions such as obtaining the sphere by gluing two discs (corresponding to the northern and southern hemispheres) along their boundaries (the equator) or obtaining the real projective space as the quotient of a sphere by antipodal identification, have their counterparts in contravariant C?-algebra constructions. The Gelfand-Naimark-Segal Theorem characterises all C?-algebras as closed ?-subalgebras of bounded linear transformations on a Hilbert space H. Unlike the Gelfand-Naimark Theorem there is no uniqueness statements in the Gelfand-Naimark- Segal Theorem specifying the Hilbert space H or the closed ?-subalgebra. There is probably no good analog of the Gelfand-Naimark Theorem for all noncommutative C?-algebras. However, this may be possible for the important subclass of graph C?-algebras. Some of these graph C?-algebras have been identified as quantum spaces, that is, deformations of the commutative C?-algebras of complex valued continuous functions defined on compact Hausdorff topological spaces. The Stone-Weierstrass Theorem provides finitely generated dense subalgebras of alge- bras of continuous functions on closed and bounded subsets of Euclidean space. These are usually polynomial algebras or their quotients. We present noncommutative (algebraic) analogs of these constructions as dense finitely generated subalgebras, (co)functorially. The cofunctor LF assigns to each di(rected )graph ? its Leavitt path algebra LF(?) with coefficients in the field F and a graded ?-algebra homomorphism to each admissable digraph morphism.