Asimetrik normlu uzaylarda kompaktlık

Abstract

Bu çalışmada, asimetrik normlu lineer uzaylarda kompaktlık, ön kompaktlık ve diğer kompaktlık türlerine ilişkin yapılan makaleler incelenmiştir. İncelenen makalelerde, asimetrik normlu uzaylarda kompakt kümeler ?q(0) := {x ? X : q(x) = 0} kümesi kullanılarak karakterize edilmiştir. (X, q) asimetrik normlu lineer uzayında bir K alt kümesinin q-kompakt olması için gerek ve yeter koşulun K + ?q(0) kümesinin aynı topolojiye göre kompakt olması gerektiği ispatlanmıştır. Bu sonuçtan yararlanarak q asimetrik normu yardımıyla tanımlanan asimetrik normlu lineer uzaylardaki q-kompakt kümeler, q yardımıyla X üzerinde tanımlanan (X, qs) normlu uzayındaki qs -kompakt kümeler ile ilişkisi bağlamında ele alınmıştır. ?q(0) kullanılarak, q-kompakt ve qs - kompakt kümeler arasındaki ilişkiye dair sonuç verilmiştir. Sonlu boyutlu asimetrik normlu uzaylarda kompaktlığa ilişkin sonuçlar özel olarak incelenmiştir. Söz konusu çalışmalarda, tanımdan q-ön kompakt kümelerin q-sınırlı olduğu, fakat q-kompakt olmayabileceğine dair örnek verilmiştir. Ayrıca, q-ön kompakt kümelerin sonlu toplamının, sonlu birleşiminin ve q-ön kompakt bir kümenin konveks zarfının yine q-ön kompakt olduğu gösterilmiştir. Bir A kümesinin q-ön kompakt olması için gerek ve yeter koşulun q?1 -kapanışının q-ön kompakt olması gerektiği ispatlanmıştır. İncelenen makalelerde ayrıca (X, q) asimetrik normlu lineer uzayın her güçlü q-kompakt alt kümenin q- kompakt olduğu ispatlanmış, fakat q-kompakt bir kümenin güçlü qkompakt olmak zorunda olmadığına dair örnek verilmiştir. Asimetrik normlu uzaylarda kompaktlığın karakterizasyonu için incelenen makalelerde sağ sınırlılık kavramı gibi ek koşullar tanımlanmış, ayrıca q?1 asimetrik normu ve qs normundan yararlanılmıştır ve asimetrik normlu uzaylarda kompaktlığın normlu uzaylardaki kompaktlıktan farklılık gösterdiği ortaya konmuştur. AnahtarIn this study, articles about compactness, precompactness, and other types of compactness in asymmetric normed linear spaces are reviewed. In the reviewed articles, compact sets in asymmetric normed spaces are characterized using the set ?q(0) := {x ? X : q(x) = 0}. It has been proven that for a subset K in the asymmetric normed linear space (X, q) to be q-compact, it is necessary and sufficient that the set K + ?q(0) is compact with respect to the same topology. By using this result, q-compact sets in asymmetric normed linear spaces are investigated in relation to the qs-compact sets in the normed space (X, qs) . Using the set ?q(0) , a result regarding the relationship between q-compact and qs-compact sets is presented. Compactness results in finite-dimensional asymmetric normed spaces are also examined in detail. In the reviewed studies, it is shown by using the definition that q-precompact sets are q-bounded, but an example is provided to show that they may not be q-compact. Moreover, it is proved that the finite union and finite sum of q-precompact sets, as well as the convex hull of a q-precompact set, are also q-precompact. It is proven that a necessary and sufficient condition for a set A to be q-precompact is that its q?1-closure is q-precompact. The reviewed articles also show that every strongly q-compact subset of an asymmetric normed linear space (X, q) is q-compact? however, an example is provided to show that a q-compact set need not be strongly q-compact. To characterize compactness in asymmetric normed spaces, the reviewed articles introduces additional conditions such as the concept of right boundedness and uses the asymmetric norm q?1 and the norm qs. It has been shown that compactness in asymmetric normed spaces differs from compactness in normed spaces.