Stability of bimodal systems

Abstract

Bu tezde, R3'teki iki modlu sistemlerin yapısı ve kararlılığı incelenmiştir. İlk aşamada, yapılan bir kabulle R3'teki kararlılık probleminin R2'ye indirgenebildiği gösterilmiştir. Sonrasında bu kabul kaldırılmış ve daha genel koşullar altında, R2'den farklı olarak ilginç sonuçlar elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar, sistem yörüngesinin davranışının bağımsız alt sistemlerdeki parametrelerin (alt sistem matrislerinin özdeğerlerinin ve bazı matris bileşenlerinin ) değişikliklerine bağlı olarak hareket ettiğini göstermiştir. Kullanılan yaklaşım ikili sistemin yörüngelerinin aşağıdaki şekilde sınıflandırılmasıyla şekillenmiştir: i) t sonsuza giderken, sonlu defa mod değiştiren yörüngeler, ii) t sonsuza giderken, sonsuz defa mod değiştiren yörüngeler. Bu yaklaşım yardımı ile, sonlu ya da sonsuz mod değişikliğinin R3'teki iki modlu sistemlerin global asimptotik kararlılığı üzerinde etkili olduğu ve bu davranış ile yörüngeleri çeken ya da iten sabit doğrultuların ya da konilerin oluştuğu kanıtlanmıştır.

In this dissertation, the structure and stability of bimodal systems in R3 are investigated. As a first step, it is shown that one of the assumptions being used reduces the stability problem in R3 to the stability problem in R2. Afterwards, this assumption is removed and apart from the results in R2, some interesting conclusions are obtained. However, structural analysis shows that the behavior of the trajectories changes radically upon the change of the parameters of individual subsystems (i.e. eigenvalues, system matrices entries,...). The approach taken is based on the classification of the trajectories of bimodal systems as i) the trajectories which change mode finite number of times as t goes to infinity, ii) the trajectories which change mode infinite number of times as t goes to infinity. With the help of this classification, it is shown that the effect of mode changes strongly influence the global asymptotic stability of bimodal systems in R3. It is also shown that the trajectories which change mode infinite number of times converge to fixed directions (which may be attractive or repulsive) and stability cones.