Periyodik sınır değer problemlerinde monoton iteratif teknik

Abstract

Bu tezde monoton iterasyon teknik kullanılarak lineer olmayan birinci mertebeden " periyodik sınır değer problemlerinde alt çözüm ve üst çözümden başlayarak monoton iterasyon tekniği kullanarak periyodik sınır değer problemimizin minimum ve maksimum çözümlerine düzgün ve monoton olarak yakınsayan dizilerin nasıl oluşturulduğunu değişik durumlar için açık olarak gösterilecektir. Önce bir boyutlu uzayda bu metodun geçerliliğini gösterdikten sonra sonlu boyutta da geçerli olduğunu gösterilecektir. Bu standart çalışmanın yanında bu tezde yakın zamanda ispatlanan alt ve üst çözümün sonlu sayıda tek taraflı süreksizliğe sahip olduğu durumda da yukarıda bahsettiğimiz tekniğin geçerli olduğunu gösterilecek. Farklı olarak bu tezde yukarıda bahsettiklerimiz periyodik sınır değer probleminin sağ tarafı farklı iki monoton özelliğe sahip iki fonksiyonun toplamını içeren sonlu sistemler için de genellenmiştir. Monoton iterasyon tekniğin uygulamadaki pratik yanı lineer olmayan periyodik sınır değer probleminin çözümüne yakınsayan monoton dizilerin elemanlarının lineer diferansiyel denklemlerinin çözümleri olmasıdır.

In this thesis we have shown that starting from lower and upper solutions of non-linear first order periodic boundary value problem by using monotone iterajive techniques we can construct sequences such that converge minimum and maximum solutions of nonlinear first order periodic boundary value problem monotonically and uniformly. We showed this fact could be realized in some various cases. First of all we proved that we can do in one dimensional real space and then we generalized it to finite dimensional real space. Beside this standard work in this thesis we explained a recent study that even if lower and upper solutions of nonlinear first order periodic boundary value problem have finite number of one sided discontinuity we can apply monotone iterative technique so that we obtain sequences that converge minimum and maximum solutions of this problem monotonically and uniformly. Moreover, in this thesis we proved that if right side of a periodic boundary value problem consists of two functions having different monotonic properties we could apply with slight differences. Finally, significant property of using monotone iterative technique is that elements of monotone sequences that converge minimum and maximum solutions of nonlinear periodic boundary value problems are solutions of linear differential equations.