Skaler dalga alanlarının bir küre üzerindeki harmonik yapısı

Abstract

Elektromanyetik teorideki problemlerin çözümünde değişik yöntemler kullanılır. Bir kısım yarı analitik ve nümerik analiz teknikleri temel dalga fonksiyonlarını esas alarak çözüm yolu ararlar. Temel dalga fonksiyonlarının bir tipi olan küresel dalga fonksiyonları ile küresel yüzey harmonikleri arasında doğrudan bir ilişki vardır. Küresel harmonikler ve spektral dönüşüm, hava ve iklim modellemede de sıkça uygulanır. Bu işlemlerde fonksiyonun harmoniklere açılımında kaç harmoniğe ihtiyaç olduğu önemli bir problemdir. Bir küre üzerinde örnekleri verilmiş bir fonksiyonun harmonik katsayılarını bularak kesme yöntemiyle harmonik sayısını azaltma veya sıfır ekleme yöntemiyle harmonik sayısını artırmak gerekebilir. Bu tezde küre yüzeyinde verilmiş skaler bir fonksiyonun harmonik açılımını bulan ve harmonik katsayıları verilmiş bir fonksiyonu küre üzerinde üreten bir yazılım geliştirilmiştir. Küresel filtre olarak adlandırılan bu araç sayesinde hem bir fonksiyonun harmonik yapısını incelemek hem de bu harmonik yapının ne kadarının verilen bir hassasiyet için gerekli olduğunu araştırmak mümkündür. Literatürde harmonik yapı incelemesi için analitik veya gözlemsel olarak tespit edilmiş sınırlar mevcuttur. Bu tezde bu inceleme nümerik olarak yapılarak bu sınırların geçerliliği de araştırılmıştır. Ayrıca bu incelemeden faydalanılarak küre üzerinde örneklenmiş bir fonksiyonun harmonik sayısının değiştirilmesinden sonra yeniden üretilmesi ile ortaya çıkacak hata incelenmiştir.Various methods are used for the solution of electromagnetic problems. Some semi-analytical and numerical analysis techniques are based on elementary wave functions. Spherical wave functions, which form the elementary wave functions for sperical geometries, are directly related to spherical surface harmonics. Spherical harmonics and spectral truncation are also important in weather and climate modelling. While obtaining the harmonic expansion of a function, it is an important problem to determine the number of harmonics to use. The function whose samples are given can be represented in less harmonics by applying truncation or in more harmonics by applying zero padding. In this thesis, a software is developed for computing the harmonic expansion of a scaler function on a sphere. The developed software can also compute the function once its spherical harmonic coefficients are given. With the software, which is called a Spherical Filter, the harmonic structure can be examined and for a given accuracy, required number of harmonics can be determined. There are few analytical and semi-empirical limits in literature. In this thesis, the validity of these limits is examined by numerical experiments. In addition, by using this study, the relation of the number of harmonics used to the errors induced in the reconstruction of functions is investigated.