On locally conformal dynamics and kinetic theories

Abstract

Jacobi katmanları, tek boyutlu altkatmanları kontakt katmanlar, çift boyutlu altkatmanları ise yerel konformal simplektik katmanlar olan integrallenebilir yapılardır. Bu tez, kontakt ve yerel konformal simplektik katmanlar üzerine odaklanmaktadır. Yerel konformal çerçevede, hem Hamilton hem de Lagrange dinamiği sunulmuştur. Yeni bir sonuç olarak, klasik Euler–Lagrange denklemlerinin bir genellemesi olan yerel konformal Euler–Lagrange denklemleri türetilmiştir. Bununla birlikte, kinetik dinamik formüle edilmiş ve yerel konformal momentum–Vlasov denklemleri ile yerel konformal Vlasov denklemleri elde edilmiştir. Ek olarak, parçacık hareketinden kinetik dinamiğe uzanan geometrik bir geçiş yolu kurulmuştur; bu yapı, lift ve dikey temsilci kavramları kullanılarak inşa edilmiştir. Yerel konformal çerçevede, kesikli Lagrange yapı elde edilmiştir. Klasik kesikli Euler–Lagrange denklemlerinin bir genellemesi olan yerel konformal kesikli Euler–Lagrange denklemleri sunulmuştur. Legendre dönüşümü uygulanarak yerel konformal kesikli Hamilton denklemler elde edilmiştir. Ayrıca, daha yüksek mertebeden yerel konformal kesikli Lagrange dinamik geliştirilmiş ve ikinci ile üçüncü mertebeden yerel konformal kesikli Euler–Lagrange denklemleri türetilmiştir. Ayrıca, konformal Hamilton dinamik olarak bilinen başka bir çerçeveyi de incelemekteyiz. Bu bağlamda, diverjansları sıfırdan farklı konformal Hamilton vektör alanları ele alınmıştır. Bu vektör alanlarının Lie cebiri ile çalışılmış, konformal kinetik dinamik momentum ve yoğunluk formülasyonlarında tanıtılmıştır. Sonuç olarak, her bir formülasyon için konformal kinetik denklemler türetilmiştir. Ayrıca, momenta cinsinden konformal kinetik dinamik, dikey temsilciler kullanılarak geometrik olarak da ifade edilmiştir. Kontakt çerçevesinde, Hamilton dinamiği sunulmuştur. Kontakt katman bir kontakt bir-formu ve ilişkili Reeb vektör alanını içerir. Kontakt bir-formunu kullanarak, ayrıca bir bivektör alanı tanımlanmıştır. Kontakt katman, bivektör ve Reeb vektör alanı birlikte bir Jacobi katmanıdır. Ardından kinetik dinamik, momenta ve yoğunluk fonksiyonu cinsinden formüle edilmiştir. Sonuç olarak kontakt momentum–Vlasov denklemi ve kontakt Vlasov denklemi türetilmiştir.Jacobi manifolds are integrable structures whose odd-dimensional leaves are contact manifolds, while the even-dimensional leaves are locally conformal symplectic manifolds. In this thesis, we focus on these geometric structures. Within the locally conformal framework, we present both Hamiltonian and Lagrangian dynamics. As a novel result, we derive the locally conformal Euler–Lagrange equations, which extend the classical Euler–Lagrange equations. Furthermore we formulate kinetic dynamics in this setting and derive the locally conformal momentum–Vlasov equations and the locally conformal Vlasov equations. In addition, we establish a geometric pathway from particle motion to kinetic dynamics in the locally conformal framework, using the notions of lifts and vertical representatives. From the perspective of discrete dynamics, we derive the locally conformal Lagrangian formulation. We present the locally conformal discrete Euler–Lagrange equations, which generalize the classical discrete Euler–Lagrange equations. By applying the Legendre transformation, we obtain the locally conformal discrete Hamiltonian equations. In addition, we develop higher-order locally conformal discrete Lagrangian dynamics and derive the second- and third-order locally conformal discrete Euler–Lagrange equations. We also study another framework, known as conformal Hamiltonian dynamics. In this setting, we consider conformal Hamiltonian vector fields, which have non-zero divergence. We work with the Lie algebra of these vector fields and introduce conformal kinetic dynamics in both momentum and density formulations. As a result, we derive conformal kinetic equations for each formulation. In addition, we present a geometric description of conformal kinetic dynamics in terms of momenta, using vertical representatives. In the contact framework, we present the Hamiltonian dynamics. This structure includes a contact one-form and the associated Reeb vector field. Using the contact one-form, we also define a bivector field. Together, the bivector and the Reeb vector field make the contact manifold a Jacobi manifold. We then formulate kinetic dynamics in terms of momenta and the density function. As a result, we derive the contact momentum–Vlasov equation and the contact Vlasov equation.