Sıfır Boyutlu Hermite Metodu

Abstract

Bu proje özel tanımlı bir matris olan Hermite Matrisleri kullanılarak teorik matematik, robotik, optimizasyon, bilgi güvenliği gibi bir çok konuda uygulaması olan problemlerin çözülmeleri üzerine çalışmalardan oluşmuştur. Öncelikle tek değişkenli polinomlar için geliştirilen Hermite metodu, sonra çok değişkenli durumlar için genişletilmiş ve genelleştirilmiştir. Problemlerin çözümlerine temel olarak cebirsel yöntemlerle (sembolik hesaplama) yaklaşılmış, bazı kısımlarda nümerik hesaplamalar da kullanılmıştır. Matematiğin matris teorisi, lineer cebir, cebirsel geometri, nümerik analiz, analiz ve bilgisayar bilimlerinden karmaşıklık teorisi, algoritma inşası konuları bu proje boyunca birlikte kullanılmıştır. Hermite Metodu, radikal ve radikal olmayan idealler üreten polinom sistemleri üzerinde geliştirildikten sonra, iki önemli problemin çözümünde nasıl kullanılacağı matematiksel olarak kurulan teoremlerle ispatlanmış, sonrasında bilgisayar bilimleri konularının kullanımı ile çözümü yapan algoritmalar inşa edilmiş ve MAPLE adlı sembolik bir yazılım kullanılarak kodlanmıştır. Bu iki problem şu şekilde özetlenebilir: İlki ?Reel köklerin Serifikasyonu? olarak adlandırılabilir. Bu problem nümerik yollarla yaklaşık çözümleri elde edilmesinin ardından, bu elde edilen sayıların verilen sistemin gerçekten bir çözümü olup olmadığını verilen bir hassasiyetle sertifika eder. En bilinen uygulamaları robotik alanındadır, hareketleri hassasiyet gerektiren robotların (ameliyat yapan robot kollar gibi) hareketlerinin hesaplamasında kullanılır. Diğer bilinen bir uygulaması pilot eğitiminde kullanılan simülatörlerin üzerine yerleştirildiği platformaların gerçeğine uygun şekilde hareket etmesininde kullanılan modellerdir. Hermite Metodu ile çözülebildiği gösterilen diğer problem ?Reel bir verayete üzerinde polinomların pozitifliği? olarak isimlendirilebilir. Verilen bir g polinomu ile tanımlanan Hermite Matrisinin imzasının hesaplanması yardımıyla g polinomunun reel bir verayete üzerinde her zaman pozitif olup olmadığı araştırılır. Bu problem bir optimizasyon problemi olup yöneylem araştırmaları kapsamında endüstri mühendisleri tarafından kullanılan bir problemdir. Bu problem daha önce farklı bir yaklaşımla yaklaşık olarak çözülmüş olsa da bu proje kapsamında, ön koşullar sağlandığı durumlarda tam doğru cevap alınması sağlanmıştır.