Bir elipste analitik ve birebir olan fonksiyonların faber katsayıları için üst sınırlar

Abstract

Bu tezde,E_{r}={(x,y) R²:((x²)/((1+(1/(r²)))²))+((y²)/((1-(1/(r²)))²))<1,r>1}bölgesinde analitik ve birebir olan fonksiyonların Faber katsayılarının uygun lineer kombinasyonları için keskin sınırlar elde edilmiştir. Bu eşitsizlikler, birim dairede analitik ve birebir fonksiyonların oluşturduğu sınıflara ait olan klasik katsayı eşitsizliklerinden faydalanılarak elde edilmiştir. Aynı zamanda, her sınıf için elipsin invaryant dönmelerinin de sayısı olan iki extremal fonksiyon elde edilmiştir.Tezin ilk kısmında, problemin tarihçesi ve ortaya konuluşundan bahsedilmiştir. İkinci bölümde ise, Faber katsayılarının tanımı ve Faber serisinin özellikleri verilmiştir. Son olarak, üçüncü bölümde ise, birim dairedeki fonksiyon sınıflarına paralel olarak bölgesinde analitik ve birebir olan fonksiyonların oluşturduğu sınıflar tanımlanmıştır. Ayrıca, bu sınıflara ait fonksiyonların Faber katsayılarının uygun lineer kombinasyonu ile ilgili teoremler ispatlanmıştır.

In this thesis, sharp bouns for certain linear combinations of Faber coefficients of functions analytic and univalent inE_{r}={(x,y) R²:((x²)/((1+(1/(r²)))²))+((y²)/((1-(1/(r²)))²))<1,r>1}are obtained. This result is obtained by using the classical coefficient inequalities in certain class of analitic and univalent functions in unit disc. At the same time, two extremal functions for every class which is the same number invariant rotation of elipse are obtained.In first part of thesis, the history of this problem and display exist. In the second part, definition of the Faber coefficient and property of Faber series is stated. Finally, in third part, certain classes of analytic and univalent functions in are defined analogously the class of analytic and univalent functions in the unit disc. In addition to,theorems about the certain lineer combinations of Faber coefficients of functions in these classes are proved.