Monotone iterative techniques for set valued differential equations in metric spaces

Abstract

Metrik uzaylarda verilmiş küme diferansiyel denklemleri incelemek için öncelikle gerekli araçları ve önemli koşılları sağlayan bazı öncelikli materyalleri veriyoruz, çünkü ilgili metrik uzay sonlu boyutlu uzayda tüm boşolmayan kompakt konveks kümelerden oluşur, bu yüzden küme diferansiyel denklemlerdeki gerekli teoremler ve tanımlara ihtiyacımız var. Metrik uzaylarda küme diferansiyel denklemler için monoton iterasyon tekniğin incelenmesi, karşılaştırma sonuçlarının, alt ve üst çözüm yöntemlerinin kullanılması, monoton iterasyon yöntemin üst ve alt çözüm yöntemlerinin bir sonucu olarak ortayı çıktığı bilinmektedir. Üst ve alt çözümlerin oluşturduğu kapalı ve sınırlı bir kümede verilen sürekli fonksiyonlar yani doğal denklemler, bu verilen fonksiyon iki veya üç farklı fonksiyonun kombinasyonu olarak verildiğinde bu monoton iterasyon tekniğinin bu tip denklemlere uygulanıp uygulanamayacağı ilğinç bir açık problem ola gelmiştir. Bu problem çözüldüğünde böylece özel durumlar olarak bilinen bazı sonuçları elde edebilir ve bazı yeni sonuçlar elde edebiliriz. Bu problemin çözümü mümkün olup ve cevabı da olumludur. Bu fikir monotone iterasyon yöntemine yeni bir bakış kazandırıyor ve yeni bir perspektif sunmuştur. Şimdiye kadar elde edilen sonuçları genelleştirip ve literatürde ki tek bir fonkosiyon için tüm sonuçları elde ettik. Elde edilen tüm sonuçlar burada göz önünde bulundurulduğunda çok özel ilgi alanları içerdiğini ve bu sayede dört ve sekiz tip üst ve alt çözümleri kullanılmıştır. Bu tezde, eşleşmiş alt ve üst çözümleri ele almakta ve eşleşmiş minimum ve maksimum çözümlere düzgün yakınsayan monoton fonksiyon dizi çiftleri elde edilmiştir.The preliminary materials providing the requisite tools and substantial background to study the set differential equations in metric spaces were collected since the metric space concerned consists of all nonempty compact convex sets in finite dimensional space. The requisite theorems and definitions in set differential equations are given to study the monotone iterative technique for set differential equations in metric spaces utilizing the method of upper and lower solutions. It is well known that the method of upper and lower solutions with the monotone iterative technique offers abstract as well as deductive existence result in a closed set that is generated by upper and lower solutions. The natural question is whether it is possible to extend the monotone method when the given function is the difference of two or three functions. So that we can obtain some known results as special cases and some new results. The answer is positive, this offers a new look into the monotone method results developed so far and also combine all the results in a single set up. The results took into account here are so public that they include several special cases of interest, and this leads to the possibility of having four or eight types of upper and lower solutions. In this thesis we consider coupled lower and upper solutions were considered and two sequences which converge to coupled minimal and maximal solutions respectively were developed.