Stability and lipschitz stability criteria of set valued differential equations and its applications

Abstract

Bu tezde, küme değerli diferansiyel denklemleri için stabilite ve Lipschitz kararlılık incelenmiştir. Özellikle, başlangıç zaman farkları (ITD) ve mekansal değişkenlere bağlı bozulmalarla etkilenen sistemler üzerinde durulmuştur. Küme-değerli sistemler, belirsizlikleri doğal bir şekilde modellemekte olup, uzun vadeli davranışlarının anlaşılması güçlü teorik çerçeveler gerektirir. Lyapunov'un ikinci yöntemi, açık çözümler bulmaya gerek kalmadan kararlılığı incelemek için anahtar bir analitik araç olarak kullanılmaktadır. Klasik kararlılık kavramları, küme değerli diferansiyel denklemler genişletilmiş ve ITD temelli yeni kararlılık tanımları geliştirilmiştir. Lyapunov benzeri fonksiyonlar kullanılarak çeşitli sonuçlar elde edilmiş ve mevcut yaklaşımları birleştiren iki ölçüye dayalı birleşik bir kararlılık kavramı önerilmiştir. Ayrıca, başlangıç zaman farklarını hesaba katan doğrusal olmayan parametre varyasyonu teorisi detaylandırılmıştır. Bulgularımız, bir küme değerli diferansiyel denklemin Lipschitz kararlı olup olmadan kararlı olabileceğini, ancak tersinin her zaman geçerli olmadığını göstermektedir; yani, Lipschitz kararlılık, klasik kararlılığı zorunlu kılar. Bu durum, Lipschitz kararlılığın daha kısıtlayıcı bir kriter olduğunu ortaya koymaktadır. Bu gore, kararlılığın merkezi bir rol oynadığı kontrol teorisi, doğrusal olmayan sistemler ve uygulamalı matematik gibi alanlarda potansiyel uygulamalara olanak tanımaktadır.

It will be completed at a later stageIn this thesis, we examine stability and Lipschitz stability concepts for set-valued differential equations, particularly focusing on systems affected by initial time differences (ITD) and perturbations in the spatial variable. Set-valued systems provide a natural framework for modeling uncertainty, and understanding their long-term behavior requires strong theoretical foundations. Lyapunov's second method has been used as a key analytical tool to study stability without the need for explicit solutions. Classical stability concepts are extended to the context of set-valued differential equations, and new stability definitions based on ITD are introduced. Lyapunov-like functions are used to derive several results, and a unified stability concept based on two measures is proposed, which integrates existing stability notions. Furthermore, nonlinear variation of parameters theory is extended to account for initial time differences. Our findings demonstrate that a set-valued differential equation can be stable without necessarily being Lipschitz stable, but if it is Lipschitz stable, it must also be stable. This highlights that Lipschitz stability imposes stricter conditions than classical stability. The results contribute to the development of a more generalized framework for stability analysis, with potential applications in control theory, nonlinear systems, and applied mathematics, where stability plays a central role.