The method of monotone iterative techniques and quasilinearization in time scale

Abstract

Bu tezde zaman skalalarında temel tanımlar ve sonuçları sunulmuştur. Daha sonra varlık ve teklik teoremi, dinamik eşitsizlikler, ekstrem çözümlerin varlığı, karşılaştırma sonucu ve parametrelerin lineer varyasyon formülleri gibi zaman skalalarında başlangıç değer problemi ile dinamik sistemlerin temel teoremleri ispatlamışızdır. Bu yüzden, monoton iteratif teknik ile eşleşmiş alt ve üst çözümler yönteminin, yapıcı varlık sonuçlarını bir parçada gösteren etkili ve esnek bir aşamada mekanizma sağladığı iyi bilindiğinden dolayı, kapalı kümede bir çözümün varlığını gösterebilmek için zaman skalasında dinamik sistemlerin alt ve üst çözümler yöntemi tartışılmıştır. Ayrıca, alt ve üst çözümleri kullanarak zaman skalasında başlangıç değer problemiyle dinamik sistemlerin çözümü olan monoton iterasyon yapılmış, böylece bu diziler zaman skalasında göz önünde bulundurulan problemin ekstremal çözümlerine düzgün ve monoton olarak yakınsadıkları gösterilmiştir. Buna ek olarak, zaman skalasında başlangıç değer problemiyle dinamik sisteme eşleşmiş alt ve üst çözümleri kullanarak monoton iterasyon tekniği genelleştirilmiştir. Daha sonra ilgili fonksiyonlar herhangi bir monoton özelliğe sahip olmadığında zaman skalasında ele alınan benzersiz bir problem çözümüne düzgün yakınsak monoton dizileri yapılarak karışık monotoni yöntemi araştırılmıştır. Son olarak, bu yakınsaklık ele alınmış bir problemin çözümüne ancak süperlineer olarak benzersiz bir çözüme yakınsak monoton diziler sunduğundan dolayı alt ve üst çözümler yöntemi kullanılarak zaman skalasında dinamik sistemi kuasilineerizasyon tekniği tartışılmıştırIn this thesis, we have offered the fundamental definitions and results on time scales. Then we have proved the basic theorems of dynamic systems with IVP on time scale as: existence and uniqueness theorems, dynamic inequalities, existence of extremal solutions, comparison result, linear variation of parameters formula. It is well known that the method of upper and lower solutions coupled with the monotone iterative technique gives an effective and flexible mechamism for showing contructive existence results in a segment. Therefore, we have discussed the method of upper and lower solutions of dynamic systems on time scale so that we can show the existence of a solution in the closed set. Futhermore, by using upper and lower solutions we have constructed monotone iterates which are solutions of dynamic systems with IVP on time scale such that these sequensecs converge uniformly and monotonically to extremal solutions of the problem considered on time scale. Moreover, we have generalized monotone iterative technique by using coupled lower and upper solutions for dynamic system with IVP on time scale. Then we have studied the method of mixed monotony such that construct monotone sequences converge uniformly to unique solution of problem considered on time scale when the functions involved do not possess any monotone properties. Finally, we have disscused the method of quasilinearization of dynamic system on time scale by using the method of upper and lower solutions such that it offers monotone sequences which converge to a unique solution but this convergence is superlinear to the solution of the considered problem.