Dynamic behavior of rotor systems with belleville washer-induced support nonlinearity

Abstract

Doğrusal olmayan desteklerin davranışı, döner makinelerde önemli ve çoğu zaman kaçınılmaz bir özelliktir; bu durum sistemin performansı, kararlılığı ve uzun vadeli güvenilirliği üzerinde doğrudan etkiler yaratır. Bu tür doğrusal olmayan özellikler genellikle mekanik bağlantı noktalarında, özellikle de bileşenlerin yapısal desteklerle birleştiği cıvatalı bağlantılarda ortaya çıkar. Bu çalışma, Belleville pulları aracılığıyla doğrusal olmayan desteklerin ve tek diskli esnek bir rotor sisteminin sayısal incelemesine odaklanmaktadır. Konik yay elemanları olan Belleville pulları, genellikle cıvatalı bağlantılarda kullanılır ve kuvvet–yer değiştirme ilişkileri yüksek derecede doğrusal olmayan bir yapıya sahiptir. Bu nedenle, rotor–destek etkileşimlerindeki geometrik ve temas kaynaklı doğrusal olmayan davranışları temsil etmek için uygun bir adaydırlar. Bu araştırmanın amacı, doğrusal olmayan destek koşullarına sahip bir rotor sisteminin dinamik davranışını modellemek ve simüle etmek, ayrıca Belleville pullarındaki geometrik değişimlerin sistemin kararlı hâl yanıtı üzerindeki etkilerini değerlendirmektir. Çalışmada ele alınan rotor konfigürasyonu, esnek bir mil üzerine merkezî olarak yerleştirilmiş katı bir diskten oluşmaktadır ve mil, Euler–Bernoulli kiriş teorisi kullanılarak modellenmiştir. Model, döner atalet, jiroskopik etkiler ve kütle dengesizliğini hesaba katarak gerçekçi çalışma koşullarını yansıtmaktadır. Hareket denklemleri, Hamilton Prensibi kullanılarak zayıf formda türetilmiş ve bu sayede probleme enerji temelli tutarlı bir yaklaşım sağlanmıştır. Sistem dinamiklerini çözmek amacıyla, enine (düzlem içi ve düzlem dışı) yer değiştirmeler Rayleigh–Ritz yöntemiyle yaklaşık olarak ifade edilmiş, elde edilen zayıf form denklemleri buna uygun şekilde ayrıklaştırılmıştır. Doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin yaklaşık kararlı hâl periyodik çözümleri ise Harmonik Denge Yöntemi ile elde edilmiştir. Farklı rotor devir sayıları aralığında frekans yanıt eğrileri elde edilerek rezonans davranışı, yumuşama veya sertleşme etkileri ve doğrusal olmayan yanıt kaymaları incelenmiştir. Buna ek olarak, farklı destek koşulları altında enine yer değiştirme ve yörünge davranışının zamana bağlı evrimi gözlemlenmiştir. Elde edilen sonuçlar, destek bölgesindeki doğrusal olmayan katılığın varlığı ve büyüklüğünün—özellikle Belleville pullarının geometrisine bağlı olarak—rotor sisteminin dinamik davranışı üzerinde önemli bir etkiye sahip olduğunu göstermektedir. Bu etkiler arasında genliğe bağlı rezonans kaymaları, yörünge şekillerinde değişiklikler ve frekans yanıtında doğrusal olmayan modifikasyonlar yer almaktadır. Çalışma, özellikle cıvatalı bağlantıların ve konik pulların yaygın olarak kullanıldığı uygulamalarda, rotor sistemlerinin tasarım ve analizinde doğrusal olmayan destek modellerinin dikkate alınmasının önemini vurgulamaktadır.Support nonlinearity is a significant and often unavoidable feature in rotating machinery, with direct implications for system performance, stability, and long-term reliability. Such nonlinearities frequently arise at mechanical joints, particularly at bolted connections where components interface with structural supports. This study focuses on the numerical investigation of a single-disk flexible rotor system with support nonlinearity introduced through Belleville washers—conical spring elements commonly used in bolted joints. These washers exhibit a highly nonlinear force–deflection relationship, making them a suitable candidate for representing geometric and contact-induced nonlinearities in rotor–support interactions. This research aims to model and simulate the dynamic behavior of a rotor system with nonlinear support conditions, and to assess the impact of geometric variations in Belleville washers on the steady-state response of the system. The rotor configuration considered in this study consists of a rigid disk mounted on a flexible shaft modelled using Euler–Bernoulli beam theory. The model also adds the effects of rotary inertia, gyroscopic terms, and mass imbalance to reflect realistic operating conditions. The governing equations of motion are derived in weak form using Hamilton's Principle, allowing for a consistent energy-based formulation of the problem. To solve the system dynamics, the transverse (in-plane and out-of-plane) displacements are approximated using the Rayleigh–Ritz method, and the resulting weak-form equations are discretized accordingly. The Harmonic Balance Method (HBM) is then employed to obtain approximate steady-state periodic solutions of the nonlinear differential equations. Frequency response curves are generated across a range of rotor speeds to assess resonance behavior, softening or hardening effects, and nonlinear shifts in response characteristics. Additionally, time responses are obtained to observe the evolution of transverse deflections and orbital behavior under different support conditions. The results demonstrate that the presence and magnitude of nonlinear stiffness at the support, primarily governed by the geometry of the Belleville washers, have a substantial effect on the dynamic behavior of the rotor system. These effects include amplitude-dependent resonance shifts, changes in orbit shape, and nonlinear modifications to the frequency response. The study highlights the importance of incorporating nonlinear support models into the design and analysis of rotor systems, particularly in applications where bolted joints and conical washers are prevalent.