Post-quantum cryptographic protocols based on isogenies of elliptic curves

Abstract

Sonlu $\mathbb{F}_{q}$ cismi üzerinde tanımlı eliptik eğriler, kriptografi alanında kullanılan önemli cebirsel nesnelerdir. Ayrık logaritma probleminin zorluğuna dayalı; asimetrik şifreleme, anahtar anlaşma ve sayısal imzalama gibi eliptik eğri tabanlı birçok kriptografik algoritma ve protokol bulunmaktadır. Bu tezde, literatürde bulunan eliptik eğri tabanlı kriptografik protokoller incelenmiştir. Yeni bir anahtar anlaşma protokolü tanımlanmış ve mevcut protokollerle karşılaştırılmıştır. Ayrıca, bu tez kapsamında kuantum hesaplamaya dayanıklı olarak tasarlanan, eliptik eğrilerde izojeni bulma probleminin zorluğuna dayalı algoritma ve protokoller de kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Mevcut protokoller analiz edilip, kriptografik ataklar uygulanmıştır. Bununla birlikte, süpersingüler eliptik eğriler kullanılarak yeni bir anahtar anlaşma protokolü tasarlanmış ve güvenlik ispatı yapılmıştır.Elliptic curves defined over $\mathbb{F}_{q}$ are essential algebraic objects used in the field of cryptography. There are many cryptographic algorithms and protocols whose security is based on elliptic curve discrete logarithm problem, namely, asymmetric encryption, key agreement protocols and digital signature. In this thesis, cryptographic protocols based on elliptic curves in the literature have been reviewed. A new key agreement protocol is defined and compared with existing protocols. Moreover, within the scope of this thesis, the mathematical ideas behind isogeny based cryptography has been comprehensively studied on. Isogeny based key agreement protocols have been analysed and new attacks have been applied to some of the protocols in the literature. In addition, a new supersingular isogeny based key agreement protocol is designed and the security proof of this protocol is given.