Characterization of semi-tripotent and nilpotent elements of a ring

Abstract

Birimli ve değişmeli bir halkanın, her elemanı bir tripotent eleman ve Jacobson radikalinden bir elemanın toplamıysa, bu halka yarı-tripotent halka olarak adlandırılır. Bu tezde, yarı-tripotent halkaların temel o?zelliklerinin birc?oğu go?sterilmiştir ve bazı o?nemli sınıf halkalarının (Boolean halkaları, gu?c?lu? nil-temiz halkaları, kuvvetli 2-nil-temiz halkaları ve yarı boolean halkaları gibi) birkac? o?rneği yarı-tripotent o?zelliğini sağlamıstır. Bir Morita bağlamının, bir abelian grubunun grup halkasının veya lokal sonlu bir nilpotent grubunun yarı tripotent olması ic?in gerekli ve yeterli koşullar elde edilmiştir. Ayrıca n ? 2 ve tu?m a ? R ler ic?in a^n ? a nilpotent olacak s ?ekilde Pn(R) tanımlanmıştır ve x^n ? x birimli R/J(R) ve J(R) nil olacak s ?ekilde Qn(R) tanımlanmıştır. Daha sonra, n tam sayısından 12 ye kadar olan tam sayılar, k tek sayısı olduğunda n = 2^k ve p = 3,5,7 veya 9, k > 0 olduğunda n = 2^kp durumlarında Pn(R) nin sağlandığı tamamiyle karakterize edilmiştir. Son olarak, keyfi n ? 2 tam sayısı ve tu?m R halkarı ic?in Pn(R) sag ?lanır ancak ve ancak Qn(R) sag ?lanır olması ic?in gerek ve yeter koşulun n c?ift iken n ? 1 (mod 3), yada n tek iken n ?? 1 (mod 3) ve n ?? 1 (mod 8) olması gerektiği sonucuna varılmıştır.An associative ring with unity is called semi-tripotent if every element is a sum of a tripotent and element from the Jacobson radical. In this thesis, many of the useful basic properties of semi-tripotent rings are shown and several examples of some important classes of rings (such as Boolean rings, strongly nil-clean rings, strongly 2-nil-clean rings and semiboolean rings) are satisfied the semi-tripotent property. Necessary and sufficient conditions for a Morita context, respectively for a group ring of an abelian group or a locally finite nilpotent group to be semi-tripotent are obtained. Furthermore for n ? 2, Pn(R) is defined for a^n ? a is nilpotent for all a ? R and Qn(R) is defined for R/J(R) has identity x^n = x and J(R) is nil. Then rings R for which Pn(R) holds are completely characterized for integers n up to 12, for n = 2^k with k odd, and for n = 2^kp where k > 0 and p = 3,5,7 or 9. Finally for an arbitrary integer n ? 2, it is deduced that Pn(R) holds if and only if Qn(R) holds for all rings R if and only if n is even with n ? 1(mod3),or n is odd with n ?? 1(mod3)and n ?? 1 (mod 8).