Real-valued time-domain modes in hollow waveguides

Abstract

Bu tezde, zamana göre türev ihtiva eden Maxwell denklemler sistemi için bir başlangıç-sınır değer problemi ortaya konmuştur. Bu problem içi boş bir dalga kılavuzunda geçici modlar için analitik olarak çözülmüştür. Dalga kılavuzunun mükemmel iletken yüzeye sahip olduğu varsayılmıştır. Kılavuzun dikey kesitinin tek parça kapalı bir konturdan oluştuğu ve bu konturun yeterince düzgün olduğu kabul edilmiştir. Tek iletkenli dalga kılavuzları söz konusu olduğundan TE ve TM modları çalışılmıştır.Her bir modal alan bileşeni iki çarpandan oluşacak şekilde elde edilmiştir. Bunlardan biri dalga kılavuzunun enine koordinatlarının, (r), vektör fonksiyonu, diğeri ise eksenel koordinat olan z ve zaman t'ye bağımlı skaler bir fonksiyondur. Bu çalışmada, zaman uzayı dalga kılavuzu modlarını belirlemek için birbirinden neredeyse bağımsız iki problem çalışılmıştır. 1) Modal baz problemi. Bu problemin çözümü Hilbert uzayında tamamlanmış fonksiyon setini verir. Bu fonksiyonlar kılavuzun enine koordinatlarına bağlıdırlar ve modal baz oluştururlar. 2) Modal genlik problemi. Modal genliklerin z ve t bağımsız değişkenlerine sahip Klein-Gordon Denklemi (KGD)'nin çözümleri tarafından üretildiği ispatlanmıştır. KGD doğrudan Maxwell denklemlerinden türetilmiştir. KGD'nin çözümleri rölativistik Lorentz dönüşümleri altında değişimsizdir ve nedensellik ilkesine uyarlar. KGD'yi değişkenlerine ayırarak analitik çözümüne imkan sağlayacak dönüşüm çiftleri verilmiştir. Bu tezde, çözüm önerilerinden biri ayrıntılı bir şekilde çalışılmıştır. Modal genliklerin analitik çözümü yapılmış ve bu genlikler z ve t bağımsız değişkenlerine sahip Airy fonksiyonlarının çarpımı olarak elde edilmiştir.In this doctoral dissertation, an initial-boundary value problem for the system of Maxwell?s equations with time derivative is formulated and solved rigorously for transient modes in a hollow waveguide with perfectly conducting surface. The cross section is bounded by a closed singly-connected contour of arbitrary but smooth enough shape. Hence, the complete sets of TE and TM modes are obtained and studied.Every modal field component is obtained as a product of a vector function of transverse coordinates, (r), and a scalar amplitude dependent on axial coordinate,z, and time, t. It has been established that the study is reduced to solving two autonomous problems. 1) A modal basis problem. Final result of this step is the definition of complete set of functions (in Hilbert space) dependent on the transverse coordinates that originates a basis. 2) A modal amplitude problem. It is proved that the amplitudes are generated by the solutions to the Klein-Gordon Equation (KGE) with z and t as independent variables. The KGE has been derived from Maxwell?s equations directly. Solutions to the KGE are invariant under the relativistic Lorentz transformations and subjected to the causality principle. Special attention is paid to various ways leading to analytical solutions to the KGE. As an example, one case among eleven others is considered in detail. The modal amplitudes are found explicitly and expressed via products of the Airy functions with arguments dependent on z and t.