Numerical analysis of spectral collocation method for magnetohydrodynamic equations

Abstract

Bu tez çalışmasında Chebyshev spektral kolokasyon yöntemi (CSCM) kullanılarak manyetohidrodinamik (MHD) akış problemlerinin sayısal çözümleri sunulmuştur. Bu metot esas olarak ele alınan bir fonksiyon ve bu fonksiyonun türevinin interpolasyon polinomuyla yaklaşık olarak hesaplanmasına bağlıdır. Bu gerekçeyle, çalışmada polinom interpolasyon teorisi ve bu teorinin öne çıkan özellikleri incelenmiştir. Lagrange interpolasyon polinomunun belirli bir norma göre en iyi yaklaşık polinomu ile olan yakınlığını belirleyerek analiz etmek için bir yol sağlayan Lebesgue sabiti ile polinomların interpolasyon özellikleri de incelenmiştir. Bunun için, eşit aralıklı noktalar, Chebyshev Gauss (CG) noktaları ve Chebyshev Gauss Lobatto (CGL) noktaları olmak üzere üç ayrıklaştırma göz önünde bulundurulmuş ve ilgili Lebesgue sabitleri karşılaştırılmıştır. Daha sonra, belirli bir diferansiyel denklemin çözümü olan bir fonksiyonun türevinin yaklaşık olarak hesaplanması ele alınmıştır. CSCM metodolojisinin doğruluğu, sıkıştırılamaz viskoz akışkanların bir boyutlu ve iki boyutlu laminer akış problemlerini çözerek analiz edilmiştir. Akışkandaki elektrik, manyetik ve hidrodinamik kuvvetlerin etkileşimine dayanan MHD Couette akışı olarak bilinen bir boyutlu akış problemi, yöntemin yakınsaklık özelliklerini incelemek üzere ele alınmıştır. Ayrıca, harici olarak uygulanan bir manyetik alan etkisi altında iki boyutlu MHD akış problemleri, tekil olmayan bir duvarı hareketli kanal problemi üzerinde indüklenen manyetik alanı modele dahil edebilmek için tasarlanan yeni bir çözüm stratejisi ortaya konmuştur. Elde edilen sayısal sonuçlar, tasarlanan prosedürün, fiziksel alanda ve orta büyüklükte bir ayrıklaştırma izleyerek tam MHD denklemlerine etkili bir şekilde yaklaşık sonuçlar elde edildiğini göstermiştir. Ayrıca, manyetik alanın serbest-diverjans özelliğinin bütün problem bölgesi üzerinde korunduğu gösterilmiştir. Anahtar Kelimler: Chebysev interpolasyonu, CSCM, MHD akışı, Serbest-diverjans alan.In this thesis, the numerical solutions of magnetohydrodynamic (MHD) flow problems using Chebyshev spectral collocation method (CSCM) are presented. The CSCM mainly depends on polynomial interpolation, and the differentiation of the polynomial that approximates the function which is under consideration. Therefore, the polynomial interpolation theory with salient results is investigated. The interpolation properties of polynomials by means of Lebesgue constant which provides a way to analyze the Lagrange interpolation polynomial by determining its closeness to the best approximating polynomial are also investigated. For this, three sets of points namely, the equispaced points, the Chebyshev Gauss (CG) points, and the Chebyshev Gauss Lobatto (CGL) points are considered, and the associated Lebesgue constants are evaluated to determine interpolation aspects of the choice of interpolation points. Thereafter, approximating the derivative of a function which is a solution to a given differential equation is taken into consideration. The accuracy of CSCM methodology is analyzed by solving one-dimensional and two-dimensional laminar flow problems of incompressible viscous fluids. A simple one-dimensional flow problem known as MHD Couette flow that relies on the interaction of electric, magnetic, and hydrodynamic forces in the fluid, is studied to explore the convergence properties of the method. Moreover, two-dimensional MHD flow problems, subjected to an externally applied magnetic field, with a novel solution strategy designed to take account the induced magnetic field in a non-singular lid-driven cavity is introduced. The obtained numerical results indicate that the designed procedure effectively approximates the full MHD equations by following a discretization in the physical space, and of moderate size. Moreover, the divergence-free nature of the magnetic field is shown to be preserved on the whole computational domain.