Eksenel simetrili sonsuz ince yassı dairesel halka sisteminden elektromagnetik dalgaların kırınımı

Abstract

Bu çalışma, uygulamalı matematik ve sayısal yöntemler kuramı bakımından olduğu kadar, tatbiki bakımdan da önemli bir fiziksel problemin, fiziksel anlamına uygun, matematiksel olarak güçlü ve sayısal olarak verimli bir çözüme kavuşturulmasını ele almaktadır: Elektromagnetik dalgaların, eksenel simetrili ince yassı halkaların oluşturduğu yüzeyden kırınımı. Çözüm, bu türden yassı yüzeyler için Grinberg yöntemini temel alan sınır integral denklemler tekniği kullanılarak elde edilmiştir. Söz konusu yüzeyin eksenel simetrili olması, ilişkin kırınım problemini birbirinden bağımsız, sonsuz, tek boyutlu bir probleme indirger. Bu sayede eşlenmiş, "Serbest Ayar Sabitleri" içeren birinci türden integral denklemlerin oluşturduğu sistem ile karşılaşılır. Sözü edilen sabitlerin varlığı ve belirlenme şekilleri, bir cismin ince ayrıtları yakınındaki çeşitli akım yoğunluğu bileşenlerinin, iyi bilinen fiziksel gerekler uyarınca uygun davranışına ("ayrıt koşullarına") dayanır. Bu sisteme ait her integral denklem ise G.Ya. Popov'un geliştirdiği Ortogonal Polinomlar Yöntemi ile lineer cebrik denklem sistemine indirgenmiştir. Sonuçta elde edilen sonsuz boyutlu lineer cebrik denklem sistemi birinci türdendir. Bu türden denklemlere kesme uygulanması iyi bilinen sorunları içerir: Kesilmiş sistemlerin matrislerinin ters almaya duyarlılığının (condition number), matris boyutunun artışı ile beraber hızlı artması. Bu nedenle ilişkin Analitik Regülerleştirme prosedürü geliştirilmiştir. Bunun sonucunda, ele alınan vektör kırınım sınır değer problemini, ona denk olan ikinci türden sonsuz bir lineer cebrik denklem sistemine indirgemek mümkündür: (I + H)x = b, x,b&l2 Burada, I ve H, h karesi toplanabilir dizilerin Hilbert uzayında, sırasıyla birim ve kompakt operatörlerdir. İkinci türden bir lineer cebrik denklem sisteminin kesme yöntemi ile çözülmesi her zaman kararlıdır, çünkü bu sistemlere ait matrislerin ters,y- almaya duyarlılığı matris boyutu arttıkça sınırlı kalır. Bu, elde edilen sayısal sonuçlar ile de tespit edilmiştir. Ele alman eksenel simetrili yassı halkalar özellikle milimetrik dalga boyu uygulamalarında gitgide geniş uygulama sahası bulan Fresnel bölgesi mercek antenlerine uygun bir model oluşturmaktadır. Halihazırda fiziksel optik (veya Kirchhoff) yaklaşıkları ile incelenen bu anten yapısı için, matematiksel olarak güçlü ve fiziksel uygunlukta bir modele varılmıştır. Anılan türden yaklaşık yöntemler ile sunulan kesin model arasındaki farklar sayısal olarak tespit edilmiştir. Çalışmada, sözü edilen modeli daha da gerçekçi ele alabilmek üzere sözü geçen elektromagnetik olayın mükemmel iletken bir düzlem üzerindeki dielektrik tabakanın içinde olduğu uzayda geçtiği de düşünülmüştür. Bu türden 3 boyutlu bir uzayın Helmholtz denklemi için skaler Green fonksiyonunun elde edilmesine yönelik yakınsak bir algoritma da sunulmuştur. Analitik Regülerleştirme ile varılan sonuçlar, başlangıçtaki sınır değer probleminin indirgenmiş olduğu ve ona denk ikinci türden bir lineer cebrik denklem sistemi ile elde edildikleri için, ilkesel olarak, sayısal olarak verimli, fiziksel uygunlukta, herhangi bir doğruluk payı ile deneylere denetim bilgisi sağlayabilecek niteliktedirler.This work is devoted to construction of a physically relevant, mathematically strong, and numerically efficient method of solving a practically important physical problem which is very interesting one from the point of view of applied mathematics and numerical methods theory: Electromagnetic wave diffraction by system of axially symmetrical flat thin rings. Solution is obtained by Grinberg method based boundary integral equations technique. Axially symmetrical structure allows the considered diffraction problem to reduce to an infinite number of independent one dimensional problems. Thus, one has a system of integral equations of the first kind including "free constants". The presence of these constants and the way of their determination is based on the well- known physical requirement of proper behavior of various current density components near thin edges of an obstacle (edge conditions). Each integral equation of this system can be reduced to a linear algebraic equation system by means of Orthogonal Polinomials Method which was originated by G. Ya. Popov. Final linear algebraic system obtained is of the first kind. Treating it with truncation procedure involves well-known problems: Condition numbers of the matrices of truncated systems rapidly increase by the increasing dimension of these matrices. For this reason, corresponding Analytical Regularization procedure is developed. As the result, initial vector diffraction boundary value problem is reduced to an infinite algebraic system of the second kind: (I+H)x = b, x,bel2 Here I and H are identity and compact operators respectively in h, the Hubert space of square summable sequences. Linear algebraic equations of the second kind can be solved by truncation stably because the condition numbers of the matrices of truncated systems are uniformly bounded. This has been determined by means of numerical results. The considered axially symmetrical flat rings are good models of Fresnef zone lens antennas which are widely used in millimeter wave applications. Mathematically rigorous and physically relevant model is reached for this type of antennas whose current investigations are carried out by physical optics or KirchhofF approximations. The discrepancies between those approximate models and the exact one obtained herein are determined. For the sake of considering the mentioned model more realistically, the case, where the electromagnetic phenomena is supposed to occur in a 3 dimensional space including an infinitely conducting plane and a dielectric slab on it, is considered. An algorithm for obtaining the scalar Green's function for Helmholtz equation in such a space is presented. As the results using analytical regularization are obtained by means of a linear algebraic system of the second kind equivalent to the initial boundary value problem considered, principally, they are numerically efficient, physically relevant, and of the quality to provide test data for experiments in any required accuracy.